コイン投げ「ペニーのゲーム」の勝率パターン表
もともとコインには偏りがないから、表も、裏も、出る確率は1／2（2分の1）ずつだ。そのため、AさんもBさんも、8つのパターンのうちどれを選んでも、有利になったり不利になったりすることはないような気がする。「どのパターンも出る可能性は同じだろうから、難しく考えずに、適当に選ぼう」という感じで、パターンのうちの1つを選んでしまいそうだ。
ところが、具体的な事例を考えてみると、このゲームには、パターンの選択しだいで、大きな有利・不利が潜んでいることがわかる。
たとえば、Aさんが（H H H）のパターンを選んだときに、Bさんが（T H H）を選んだとしよう。
この場合、ゲームを開始して、最初の3回のコイン投げで、立て続けにHが出たときには、もちろんAさんの勝ちだ。だが、それ以外のときは、すべてBさんが勝つことになる。
なぜか？ ゲームを開始して、最初の3回のコイン投げのなかで1度でもTが出ると、その後、どこかで（H H H）のパターンが現れるためには、まずHが2つ続けて出なくてはならない。ところが、その2つのHの前にはTが出ているため、2つめのHが出た時点で、（T H H）のパターンが先に現れることになるからだ。
つまり、Aさんが（H H H）を選んだときには、Bさんは（T H H）を選ぶことにより、勝つ確率を格段に高めることができる。この場合、Aさんの勝つ確率が1／2の3乗で1／8なのに対して、Bさんの勝つ確率は1から1／8を引いて7／8となる。Bさんが勝つ確率は、Aさんが勝つ確率よりも、7倍も高くなるのだ。
実は、このゲームは、パターンを先に選ぶAさんよりも、Aさんの選択を見た上でパターンを選ぶBさんの方が、必ず有利になる。後手のBさんが選択を間違えなければ、「後手必勝」とまでは言えないが、後手がかなり有利になるゲームなのである。
Aさんの選んだパターンに対して、Bさんが勝つために選ぶべきパターンは、つぎのようになる。
※左から「Aさんが選んだパターン」「Bさんが選ぶべきパターン」「Aさんが勝つ確率（a）」「Bさんが勝つ確率（b）」「（b）／（a）」だ。
（H H H）（T H H）1／8 7／8 7倍
（H H T）（T H H）1／4 3／4 3倍
（H T H）（H H T）1／3 2／3 2倍
（H T T）（H H T）1／3 2／3 2倍
（T H H）（T T H）1／3 2／3 2倍
（T H T）（T T H）1／3 2／3 2倍
（T T H）（H T T）1／4 3／4 3倍
（T T T）（H T T）1／8 7／8 7倍
Aさんの選択に対して、Bさんは、うまくパターンを選べば、勝つ確率を少なくとも2倍、最大で7倍にまで引き上げることができる。有利・不利がないどころか、後手のBさんがかなり有利になる偏ったゲームといえる。
