デビュー当初の芸名はラビット関根。1983年、『欽どこ』出演を機に現在の関根勤に改名した（本人提供）
小堺くんは戦友であり弟
もう一人の「道標」は、『欽どこ』で「クロ子とグレ子」としてコンビを組んだ小堺一機だ。
「後輩の小堺くんが昼の帯番組『いただきます』（フジテレビ系）のMCに抜擢されて、“え、俺もあそこに行けるのか”と思った。例えるなら、暗い道を恐る恐る走っていたら小堺くんの車がバーンと前に出て、あのテールランプについていけばいいんだと自信になった感じです。小堺くんは親友であり相方であり弟であり戦友です。彼がいなかったら、僕はどうなっていたか想像もつかない」
1985年、『笑っていいとも！』（フジテレビ系）のレギュラーになり、1989年、座長を務める劇団『カンコンキンシアター』を立ち上げた。以降はテレビやラジオなどのレギュラーが途切れたことがない。
どこでも必要とされる存在──「人生で大事なのは想像力と共感力」と話す関根の魅力は萩本やタモリ、明石家さんまはじめ大御所だけでなく、若手に目を向ける姿勢からも育まれたようだ。
「とにかくお笑い好きだから『面白い！』と思った後輩芸人には自分から挨拶に行くし、ライブにも顔を出したり。劇団で共演したキャイ～ンやイワイガワの井川修司とはご飯も行くね。
イワイガワの岩井ジョニ男とはしょっちゅうゴルフしてる。ずんの飯尾（和樹）くんもよく行ってたけど、今忙しくてここ3年ぐらい全然一緒に行けてないかな……。ずんのやす、神無月くん、原口あきまさくん、アンタッチャブルの柴田（英嗣）くんもゴルフ仲間」
「永遠の少年」を自称するほど純粋な関根だからこそ、周囲の人間が心から信頼を置くのだろう。
70歳を超えてもとどまることを知らない好奇心が育む「人間力」が多くの人を惹きつける。
